Линейная алгебра. Линейное пространство.

Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и –Абелева группа, – нулевой элемент ; 2) однозначно определен элемент и при этом выполняются следующие аксиомы: : , , , .

Линейная зависимость. База. Размерность.

Пусть – линейное пространство над полем .

Опр.: Пусть , . Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Опр.: Конечная система векторов называется линейно независимой, если .

Опр.: Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если её конечная подсистема линейно независимая.

Опр.: Система векторов называется системой образующих пространства , если вектор из является линейной комбинацией этой системы.

Опр.: Бесконечная система векторов называется системой образующих пространства , если вектор из есть линейная комбинация конечной подсистемы этих векторов.

Опр.: Базой пространства называется линейно независимая система образующих пространства .

Опр.: Линейное пространство называется конечномерным, если в нём база из конечного числа векторов.

Лемма 1: Система векторов линейно зависима хотя бы один из этих векторов есть линейная комбинация остальных.

Доказательство: ! – линейно зависимые , хотя бы один из которых отличен от 0 и . !, например, , т.е. . Тогда умножаем на . Получаем , т.е. – линейная комбинация остальных векторов. !, например, – есть линейная комбинация остальных векторов. Тогда , т.к. коэффициент при отличен от 0, то –линейно зависимые по определению.

Лемма 2: Система ненулевых векторов линейно зависима хотя бы один из векторов системы есть линейная комбинация предыдущих.

Доказательство: ! система векторов –это линейно зависимые векторы и . Понятно, что максимальное число . Очевидно, что и , т.е. – линейная комбинация предыдущих векторов. ! – линейная комбинация остальных векторов системы: . По лемме 1 получается, что система линейно независимая.

Лемма 3: ! – система образующих пространства . Если – линейная комбинация остальных векторов системы, то, выбросив –тоже система образующих .

Доказательство: ! . По условию, . Согласно условию . Раскрывая скобки и приводя подобные, мы установим, что – линейная комбинация всех векторов системы кроме .

Теорема 1: ! – база пространства , тогда система из вектора линейно зависима.

Доказательство: ! напротив найдётся линейно независимая система . Рассмотрим систему . Она линейно зависима по лемме 1 и условию теоремы. Согласно лемме 2, один из векторов системы (вектор ) есть линейная комбинация предыдущих. Ясно, что остается системой образующих, а, значит, по лемме 3 – система образующих пространства . Рассмотрим теперь систему , которая является линейно зависимой по лемме 1. Согласно лемме 2, один из этих векторов есть линейная комбинация предыдущих. т.к. – линейно независимые, то это некоторый вектор . Тогда согласно леммы 3: –система образующих пространства . Рассуждая аналогичным образом, получим, что – система образующих пространства . Но тогда – линейная комбинация этих векторов, что невозможно в силу леммы 1. А это уже противоречие с леммой 1.

Теорема 2: Если –база , то база пространства состоит из векторов.

Доказательство: Теорема 2 является непосредственным следствием теоремы 1.

Опр.: Число элементов базы линейного пространства называется размерностью пространства и обозначается .

Теорема 3 (о дополняемости линейно независимой системы векторов до базы): ! – линейно независимые вектора пространства , тогда найдутся такие векторы пространства , что –база .

Доказательство: ! – база . Рассмотрим следующую систему , которая является системой образующих пространства. Выбросим из этой системы все векторы, которые являются линейными комбинациями предыдущих. т.к. линейно независимы, то мы получим систему векторов . Эта система линейно независима по лемме 2 и система образующих по лемме 3. Итак, – искомые векторы.