АСП Kонтрольная №1

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов»

Контрольная работа № 1

Вариант № 1

1. Рассматривается случайный процесс (t) 3 t 2 2t , где – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону~ Exp( ) . Найти закон распределения сечения этого процесса и характеристики: m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .

2. Заданы случайные процессы (t) U sin 2t V cos 2t ,(t) U cos3t V sin 3t , где U и V – стандартизованные

некоррелированные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти автоковариационные функции этих процессов, а также взаимную ковариационную функцию этих процессов.

3. Дана случайная функция X (t) U exp(2t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 6) . Найти

t

характеристики функции Z (t) t X ( )d X (t): mZ (t) , K Z (t1 , t2 ) .

0

4. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса:

функцию и дисперсию случайного процесса Y (t) dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 2

1. Рассматривается случайный процесс (t) t 3 t 2 , где – случайная величина, распределенная по равномерному закону

~ R( 3, 5) . Найти закон распределения сечения этого процесса и характеристики: m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .

2. Случайная функция Z (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 3 3t Ut3 Vt 2 Wt , где U ,V , W – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3, D(W ) 1. Найти характеристики

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 3

1. Рассматривается случайный процесс X (t) t 2 mt , где – случайная величина, распределенная по нормальному закону

~ N(m, 2 ) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением: X (t) 4 sin t V1 sin 2t V2 cos3t , DV1 3, DV2 2 .

Найти характеристики с.ф. Y (t) cost dX (t) sin 2t : mY (t) , dt

KY (t, t ) , DY (t) .

3. Дана случайная функция X (t) U exp( 4t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(1; 3) . Найти

характеристики функции Y (t) exp(t) X (t) dX (t) : mY (t) , KY (t, t ) . dt

4. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса

автокорреляционную функцию KY ( ) стационарного процесса

Y (t) a dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 4

1. Рассматривается гармоническое колебание (t) Acos3t со случайной амплитудой A , распределенной по равномерному закону: A ~ R(0, 4) . Найти одномерную плотность и функцию распределения

DZ (t) .

3. Дана случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (1; 9) . Найти

t

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 5

1. Рассматривается случайный процесс X (t) t b , где – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону~ Ex(1 ) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .

2. Случайный процесс X (t) имеет характеристики

mX (t) 0, K X (t1 , t2 ) exp (t1 t2 ) . Случайный процесс

t

Y (t) X ( )d . Найти характеристики случайного процесса Y (t) :

0

mY (t) , KY (t, t ) , DY (t) , и определить, будет ли он стационарным. 3. Случайный процесс X (t) имеет характеристики mX (t) 1,

корреляционную функцию случайного процесса aX (t) .

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 6

1. Рассматривается случайный процесс (t) Ut V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (1; 2) и V ~ N (1; 4) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t),

K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .

2. Случайный процесс X (t) имеет характеристики

mX (t) 1, K X (t1 ,t2 ) Acos (t1 t2 ) , A –постоянная. Найти

характеристики случайного процесса Y (t) a X (t) b и определить, dt

будет ли он стационарным.

3. Случайный процесс X (t) задан своим каноническим разложением: X (t) 2 V1 cost V2 sin t , DV1 3, DV2 2 . Найти корреляционную функцию случайного процесса

Z (t) 3X (t) dX (t) . dt

4. Стационарный случайный процесс X (t) имеет спектральную

дисперсию случайного процесса Y (t) dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 7

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по одному и тому же нормальному закону N (1; 9) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание

mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию

K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 1 t t 2 Ut Vt 2 , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции Y (t) t t X (s)ds .

0

3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | | . Найти взаимную корреляционную

функцию случайных функций X (t) и Y (t) dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию KX ( ) 2 cos( ) , | | T . Найти спектральную

плотность случайной функции Y (t) 1 X (t) .

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 8

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut , где U – случайная величина, распределенная по показательному закону Exp(1/ ) , а const. Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 3t 2 U sin 3t V cos 2t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 1, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной

t

функции Y (t) X (s)ds 3 .

0

3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) exp( | |) (1 | |) . Найти корреляционную

функцию случайной функции Y (t) a dX (t) . dt

4. Спектральная плотность случайной функции X (t) имеет вид:

S X ( ) a 1 | | , | | 1. Найти дисперсию случайной функции

Y (t) aX (t) b dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 9

1. Рассматривается случайная функция X (t) U t t , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции,

математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos3t U sin 3t V cos3t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной

3. Случайная функция X (t) Ut 3 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (1, 4) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y (t) t dX (t) X (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | |, | | T . Найти спектральную плотность

случайной функции Y (t) aX (t) b dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 10

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 V , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (4,5), V ~ N (4,5) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию

K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 8t 2 Ut Vt 2 Wt 3 , где U ,V ,W – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 3, D(W ) 2 . Найти характеристики случайной функции X (t) : mX (t), K X (t1 , t2 ) , а также случайной

t

функции Y (t) X ( )d 3t : mY (t), K Y (t1 , t2 ) , DY (t) .

0

3. Случайная функция X (t) U sin t , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0, 1) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y (t) cos t X (t) sin t dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) exp( | |) . Найти спектральную плотность

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 11

1. Рассматривается случайная функция X (t) Acos( 0t U) , где U

– случайная величина, распределенная по равномерному закону R( ; ) , A и 0 - константы. Найти математическое ожидание

mX (t), корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) , дисперсию DX (t) иX (t) . Определить, является ли этот процесс стационарным.

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 3 t 2 3 Ut2 Vt3 , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3. Найти характеристики

mY (t), K Y (t1 , t2 ) случайной функции Y (t) (t 2)X (t) t 2 2 .

3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию KX ( ) 2 cos . Найти корреляционную функцию

случайной функции Y (t) X (t) dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX* ( ) a | | , | | a , a 0 . Найти дисперсию

случайной функции Y (t) 1 dX (t) . a dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 12

1. Рассматривается случайная функция X (t) U 2Vt , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (1, 4), V ~ N (2, 1) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 3cos 4t 2U sin 4t 3V cos 4t , где U ,V –

некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 1. Найти характеристики

3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную

Y (t) dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 13

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut4 2 , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) sin 3t 1 U sin 2t V cos3t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 3, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции Y (t) t X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

0

3. Случайная функция X (t) U cos3t , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 2) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y (t) X (t) dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX ( ) ae 0| | , a 0, 0 0 . Определить корреляционную функцию K X ( ) этой функции.

Московский технический университет связи и информатики

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut Vt , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (2, 1), V ~ N (2, 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) D(V ) 4 . Найти характеристики случайной

t

функции Y (t) t X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

0

3. Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса: K X ( ) C 1 | | , С, 0 . Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций aX (t) и

Y (t) b dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 2 exp( | |) , 0. Найти спектральную

плотность случайной функции Y (t) aX (t) b dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 15

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 2 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (2; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 5 U sin 5t 3V cos5t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 1. Найти характеристики случайной

t

функции Y (t) t 2 X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

0

3. Случайная функция X (t) U sin t V cost , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1) , а V – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0, 1) . С.в. U и V некоррелированы. Найти mY (t), K Y (t1 , t2 )

случайной функции Y (t) dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX* ( ) e | | , 0 . Определить дисперсию случайной

функции Y (t) dX (t) . dt

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 16

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut3 a , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R( a; a) , a const . Найти закон распределения сечения этой

функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 2 U sin 2 t V cos2 t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти характеристики случайной функции Y (t) sin t X (t) cost : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

3. Случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y (t) t 2 dX (t) tX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | |, | | 1. Найти спектральную плотность случайной функции Y (t) aX (t) .

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 17

1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut3 V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальному закону N(1; 2 ) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию

DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos(2t) U sin(2t) V cos(2t) , где U ,V –

некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти характеристики случайной

3. Заданы случайные процессы (t) U sin t V cost ,(t) U cost V sin t , где U и V – центрированные

некоррелированные случайные величины с дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти корреляционные функции этих процессов, их

взаимную корреляционную функцию, а также корреляционную функцию их суммы.

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную

Московский технический университет связи и информатики

1. Рассматривается случайная функция X (t) 2exp( Ut), где U –

случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 2) . Найти плотность распределения сечения этой функции,

математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .

2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos t U sin t V cos t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 1. Найти характеристики случайной

t

функции Y (t) X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

0

3. Заданы случайные процессы (t) t Ut2 Vt 2 , (t) t 2 Ut Vt ,

где U и V – некоррелированные стандартизованные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти нормированные корреляционные функции этих процессов, а также взаимную корреляционную функцию этих процессов.

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 19

1. Рассматривается случайная функция X (t) cos(U t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону

R(0; 2 ) , const . Найти математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим

разложением X (t) et Ue at Ve bt , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями

D(U ) 3, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции

Y(t) e t X (t) et : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .

3. Случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( ) , Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной

функции Y (t) X (t) dX (t) . dt

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную

плотность SX ( ) 1 | | , 0 , 1/ 1/ . Определить корреляционную функцию случайной функции X (t) .

Московский технический университет связи и информатики

Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр

Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1

Вариант № 20

1. Рассматривается случайная функция X (t) sin(U t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R( ; ) , const . Найти математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций X (t) и Y (t) . X (t) имеет характеристики mX (t) t 2 ,

K X (t1 , t2 ) t1t2 exp( (t1 t2 )) , а Y (t) задано своим каноническим разложением Y(t) e t Ut2 Vt 2 где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями

D(U) D(V ) 2 .

3. Случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) 4 exp(2(t1 t2 )) . Найти корреляционную функцию

1 t

случайной функции Y (t) X (t) 4 0 X ( )d .

4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию k X ( ) exp( | |) , 0 . Найти спектральную

плотность случайной функции Y (t) 1 dX (t) .

dt