11. Криволинейные и поверхностные интегралы теория поля

11.1. Вычислить , если L – отрезок прямой y=–2, заключённый между точками A(0,–2) и B(4,0).

11.2. Вычислить , если L – контур прямоугольника с вершинами в точках A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2).

11.3. Вычислить , если L – первая арка циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost)(a>0).

11.4. Вычислить , если L – отрезок прямой между A(1,0,1) и B(2,2,3).

11.5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра x²+y²=Rx, заключённой внутри сферы x²+y²+z²=R².

11.6. Вычислить , где L_AB дуга параболы y=x² от точки A(1,1) до точки B(2,4).

11.7. Вычислить , где L_AB – отрезок прямой, соединяющий точки A(1,1,1) и B(2, 3, 4).

11.8. Вычислить , где L – дуга винтовой линии x=Rcost, y=Rsint, z=at/(2π) от точки ее пересечения с плоскостью z=0 до точки ее пересечения с плоскостью .

11.9. Вычислить , если линия L_AB, соединяющая точки A(0,0) и B(1,1), задана уравнением: а) y=x; б) y=x²; в) y²=x; г) y=x³.

11.10. Найти координаты центра масс первой полуарки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost), t [0;π].

11.11. Вычислить:

a) , если L – отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(1,2);

б), где L_AB - дуга параболы y=x², лежащая между точками A(–1,1) и B(1,1).

11.12. Вычислить:

а) , если L – часть окружности x²+y²=9, лежащая в первом квадранте;

б), если L_AB - отрезок прямой, соединяющий точки A(2,3) и B(3,5).

11.13. Вычислить:

а) , если L – отрезок прямой y=x+2, соединяющий точки A(2, 4) и B(1 ,3);

б), если L_AB – дуга параболы y=2x–x², расположенная между точками A(1,1) и B(3,–3).

11.14. Вычислить массу дуги кривой y=lnx плотностью =x², если концы дуги определяются следующими значениями x: x₁=, x₂=.

11.15. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круглого цилиндра радиусом R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом.

11.16. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной:

а) линией x=acos³t, y=asin³t (астроида);

б) первой аркой циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) и осью Ox.

11.17. Найти функции u(x,y) по их полным дифференциалам:

а) du=4(x²–y²)(xdx–ydy);

б) du=(2xcosy–y²sinx)dx+(2ycosx–x²siny)dy;

в) du=(3y–x)dx+(y–3x)dy)/(x+y)³.

11.18. Вычислить работу силы F=(x²+y²+1)i+2xyj вдоль дуги параболы y=x³, заключенной между точками A(0,0) и B(1,1).

11.19. Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ABC с вершинами в точках A(3,0), B(3,3) и C(0,3).

11.20. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (4x³–y²)dx+(3x⁴y²–2xy)dy=0.

11.21. а) С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь области D, ограниченной линиями y=x² и ;

б) Найти функцию u(x,y), если

du(x,y)=(2xy+x²–5)dx+(x²–y³+5)dy.

11.22. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и дугой эллипса x²/a²+y²/b²=1, расположенной в первом квадранте.

б) Найти функцию u(x,y), если

du(x,y)=(x²+ +2xy–y²)dx+(x²–2xy+y²)dy.

11.23. а) Вычислить работу силы F(x,y)=2xyi+x²j, совершаемую на пути, соединяющем точки A(0,0) и B(2,1).

б) Найти функцию u(x,y), если