Поверхностные интегралы и теория поля.

11. 24. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , если S – часть поверхности конуса , расположенная между плоскостями z=0 и z=3.

    25. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где S – часть плоскости x+y+z=1, лежащая в первом октанте.

    26. Вычислить массу полусферы , если поверхностная плотность в каждой ее точке .

    27. Вычислить массу полусферы , если поверх-ностная плотность в каждой ее точке =x²+y².

    28. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , если S – верхняя часть поверхности x+2y+z–6=0, расположенная в первом октанте.

    29. Вычислить , если S – часть поверхности конуса x²+y²–z²=0, отсекаемая плоскостями z=0 и z=1, нормаль к которой образует тупой угол с осью Oz.

    30. Вычислить , если S – внешняя сторона сферы x²+y²+z²=1.

    31. Вычислить , если S – внешняя сторона цилиндра x²+y²=R² с основаниями z=0 и z=H.

    32. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью S, , где S – внешняя сторона поверхности S.

    33. Вычислить , если S – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и состоящей из цилиндра x²+y²=R² и плоскостей x=0, y=0, z=0, z=H.

    34. Вычислить , если S – внешняя сторона пирамиды, гранями которой являются плоскости x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

    35. Вычислить , если S – верхняя часть плоскости 6x+3y+2z=6, расположенная в первом октанте.

    36. Вычислить , если S – часть поверхности параболоида z=x²+y², отсекаемая плоскостью z=1.

    37. Вычислить , если S – внешняя часть поверхности тела, ограниченного поверхностями z=0, x²+y²=1, z=x²+y²+2.

    38. Вычислить дивергенцию векторного поля

a(M)=(xy+z²)i+(yz+x²)j+(zx+y²)k в точке М(1,3,–5).

11. 24. Вычислить поток векторного поля

a(M)=(x–3z)i+(x+2y+z)j+(4x+y)k через верхнюю часть плос-кости x+y+z=2, лежащую в первом октанте.

11. 24. Вычислить поток векторного поля a(M)=2xi+yj+3zk через часть поверхности эллипсоида , лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

    25. Вычислить поток векторного поля a(M)=(x–y)i+(x+y)j+z²k через поверхность цилиндрического тела, ограниченного поверхностями x²+y²=1, z=0 и z=2, в направлении внешней нормали.

    26. Доказать, что поток П радиуса-вектора r=xi+yj+zk через внешнюю сторону поверхности, ограничивающей тело V объемом , равен 3.

    27. Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля H=(21/r)(–yi+xj), создаваемого током I, проходящим по бесконечно длинному проводу.

    28. Найти поток П векторного поля a(M)=x³i+y³j+z³k через поверхность шара x²+y²+z²=R² в направлении внешней нормали.

    29. Вычислить поток П векторного поля a(M)=8xi+11yj+17zk через часть плоскости x+2y+3z=1, расположенной в первом октанте. Нормаль составляет острый угол с осью Oz.

    30. Найти поток П вектора a=xi–2yj–zk через замкнутую поверхность S, ограниченную поверхностями 1–z=x²+y², z=0 в направлении внешней нормали.

    31. Найти поток П вектора a=x²i+z²j через часть поверхности z²=4–x–y, лежащую в первом октанте, и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверхностью, в направлении внешней нормали.

    32. 1. Найти дивергенцию поля grad u, если u=ln(x²+y²+z²);

2. Вычислить поток П векторного поля a(M)=xi+3yj+2zk через верхнюю часть плоскости x+y+z=1, расположенную в первом октанте.

11. 24. 1. Найти дивергенцию векторного поля a(M)=xy²i+x²yj+z³k в точке М(1,–1,3);

2. Вычислить поток векторного поля a(M)=3xi–yj–zk через поверхности 9–z=x²+y², x=0, y=0, z=0, ограничивающее некоторое тело, в направлении внешней нормали.

11. 24. 1. Найти ;

2. Найти поток векторного поля a(M)=2xi+zk в направлении внешней нормали к поверхности тела, ограниченного поверхностями z=3x²+2y², x²+y²=4. z=0.

11. 24. Найти ротор векторного поля a(M)=xyzi+(x+y+z)j+(x²+y²+z²)k в точке М(1,–1,2).

    25. С помощью формулы Стокса преобразовать интеграл , где Г – замкнутый контур, в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.

    26. Найти циркуляцию векторного поля a(M)=yi–2zj–xk вдоль эллипса, образованного сечением однополостного гиперболоида 2x²–y²+z²=R² плоскостью y=x. Результат проверить с помощью формулы Стокса.

    27. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=zi+xj+yk вдоль контура Г: x²+y²=4, z=0 в положительном направлении обхода относительно орта n⁰=k непосредственно и с помощью формулы Стокса.

    28. Найти циркуляцию векторного поля a(M)=z²i+x²j+y²k по сечению сферы x²+y²+z²=R² плоскостью x+y+z=R в положительном направлении обхода относительно вектора n=(1,1,1).

    29. Найти циркуляцию векторного поля a(M)=y²i+xyj+(x²+y²)k по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида x²+y²=Rz плоскостями x=0, y=0, z=R в положительном направлении обхода относительно внешней нормали поверхности параболоида.

    30. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=zy²i+xz²j+yx²k по контуру пересечения параболоида x=y²+z² с плоскостью x=9 в положительном направлении обхода относительно орта n⁰=i.

    31. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=–yi+2j+k по линии Г пересечения конуса x²+y²–z²=0 с плоскостью z=1 в положительном направлении обхода относительно орта n⁰=k.

    32. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=yi–xj+zk вдоль линии Г пересечения сферы x²+y²+z²=4 с конусом в положительном направлении обхода относительно орта n⁰=k.

    33. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=yzi+2xzj+y²k по линии Г пересечения полусферы с цилиндром x²+y²=16 в положительном направлении обхода относительно орта n⁰=k.

    34. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=(x–y)i+xj–zk вдоль линии Г пересечения цилиндра x²+y²=1 с плоскостью z=2, если n⁰=k.

    35. Доказать с помощью формулы Cтокса, что , где Г – любой замкнутый контур. Результата проверить путем вычисления интеграла по контуру треугольника АВС с вершинами А(0,0,0), В(1,1,0), С(1,1,1).

    36. Найти grad div a(M), если a(M)=x³i+y³j+z³k.

    37. Среда вращается как твердое тело вокруг оси Oz с угловой скоростью . Найти ротор поля линейных скоростей , где r – радиус-вектор движущейся точки М(x,y,z).

    38. Найти циркуляцию поля скоростей v, описанного в предыдущем задании, по окружности x²+y²=R², z=0 в положительном направлении обхода относительно орта k.

    39. Доказать, что div rot a(M)=0 для любого поля a(M).

    40. Установить потенциальность поля a(M) и найти его потен-циал u, если:

а) ;

б) ;

в) .

11. 24. Проверить, является ли гармонической функция u=lnr, если .

    25. Установить потенциальность поля a(M) и найти его потенциал u:

а) ;

б) .

11. 24. Доказать, что векторное поле , где r=xi+yj+zk, которое описывает гравитационное поле, создаваемое точечной массой m, помещенной в начало координат, помещенной в начало координат ( – ньютоновская постоянная тяготения), является гармоническим (потенциальным и без-вихревым), найти его потенциал u и убедиться, что потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа.

    25. Доказать, что rot grad u(M)=0.

    26. Найти потенциал u поля a(M)=(yz+1)i+xzj+xyk и вычислить: .

Ответы

11.1. ln2. 11.2. 24. 11.3. 4πa. 11.4. 12. 11.5. 4R. 11.6. 40. 11.7. 13. 11.8. 0. 11.9. а) 1/3; б) 1/12; в) 17/30; г) –1/20. 11.10. 8a/3, 4a/3. 11.11. а) ; б) 2. 11.12. а) 27; б) 23/2. 11.13. а) ; б) . 11.14. 19/3. 11.15. 8R². 11.16. а) 3a²/8; б) 3a². 11.17. а) ; б) ; в) . 11.18. 196/105. 11.19. 18. 11.20. x⁴y³–xy²=C. 11.21. а) 1/3; б) . 11.22. а) ab/4. 11.23. а) 4; б) . 11.24. . 11.25. . 11.26. 128/15. 11.27. . 11.28. 54. 11.29. 8/3. 11.30. 32/15. 11.31. 3R²H. 11.33. . 11.34. 1/8. 11.35. 8/3. 11.36. 0. 11.37. 5. 11.38. –1. 11.39. 26/3. 11.40. 24. 11.41. – 4. 11.43. divH=0. 11.44. 12R²/5. 11.45. 1. 11.46. –. 11.47. . 11.48. =1. 11.49. =81/8. 11.50. =20. 11.51. rota(M)= –3i–3j–k. 11.53. 3R². 11.54. 4. 11.55. 3R⁴/2. 11.56. R³/3. 11.57. 729. 11.58. . 11.64. 2k. 11.65. 2R². 11.67. а) u=x²y–y²z+C; б) u=x³y–xy³+C; в) u=xy+yz+xz+C. 11.69. а) u=e^y/z(x+1)+e^yz–e^–z+C; б) u=zsin(xy)+C. 11.70. u=m/|r|. 11.72. u=x+xyz+C; 12.

167