От Шатохина_Статиститка. Орлов, Айвазян / Лекции с прошлого семестра / Лекция № 7

Основы теоретико-вероятностного математического аппарата

Лекция № 7. Правила действия со случайными событиями.

Содержание.

1. Дискретное вероятностное пространство.

а) Наблюдение, зафиксированное на объекте исследуемой совокупности (случайный эксперимент).

б) Случайные события и правила действий с ними. 2. Вероятностное пространство.

а) Вероятности и правила действия с ними.

3. Непрерывное вероятностное пространство (аксиоматика А. Н. Колмогорова)

1. Дискретное вероятностное пространство.

а) Наблюдение зафиксированное на объекте исследуемой совокупности (случайный эксперимент).

При построении любой математической теории прежде всего следует договориться об определениях некоторых понятий и о принятии – в качестве исходных фактов, не требующих доказательства, – некоторых допущений (аксиом).

Отправным понятием теории вероятностей является понятие случайного эксперимента, который определяется как наблюдение, «снятое» с единицы обследуемой совокупности, произведенное в условиях статистического ансамбля.

В зависимости от конкретного содержания этого понятия и применяется соответствующий математический аппарат к решению той или иной конкретной задачи.

Одна и та же реальная задача допускает в зависимости от конечных целей исследования несколько вариантов конкретизации понятия «случайный эксперимент».

Так, при контроле изделия по альтернативному признаку (в

результате контроля одного изделия оно признается либо годным, либо дефектным) пользуются в зависимости от конечных целей исследования по меньшей мере тремя вариантами интерпретации этого понятия:

а) контроль одного изделия;

б) контроль партии (выборки), состоящей из N изделий;

в) контроль двух партий (выборок), состоящих соответственно из N1 и N2

изделий (схема повторной выборки).

Очевидно, в первом варианте могут быть только два различных исхода («годное-дефектное»), во-втором, если нас интересует только общее количество обнаруженных в партии дефектных изделий и не интересует порядок, в котором они были обнаружены,– ( N+1) возможных исходов (в партии обнаружено нуль, или одно, или два, или N дефектных изделий), а в третьем – при том же подходе – ( N1 +1)(N2 +1) возможных исходов (результат каждого случайного эксперимента задается в этом случае парой чисел (ξ, η), где ξ и η) – числа дефектных изделий, обнаруженных соответственно в первой и во второй партиях).

Точно так же при анализе результатов подбрасывания игральных костей можно понимать под случайным экспериментом одно бросание

(соответственно будем иметь шесть возможных исходов), а можно –

последовательность из заданного числа бросаний.

Например, при четырехкратном бросании игральной кости (нетрудно подсчитать, что общее число возможных исходов в этом случае выразится числом 64 = 1296).

Число возможных исходов случайного эксперимента не всегда можно пересчитать.

Всякий случайный эксперимент, связанный с необходимостью фиксации величины какого-либо параметра обследуемого объекта, измеряемого в физических единицах непрерывной природы (температура, давление,

время, вес, размеры и т. п.), имеет, как принято говорить, континуальное множество возможных исходов.

б) Случайные события и правила действий с ними.

Как уже отмечалось, с каждым случайным экспериментом связано понятие совокупности всех возможных его исходов.

Каждый из этих возможных исходов будем называть элементарным

(неразложимым) событием (или элементарным исходом), а совокупность всех таких возможных исходов – пространством элементарных событий (исходов).

Таким образом, в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно происходит одно из элементарных событий, причем одновременно с ним не может произойти ни одно из остальных элементарных событий (о событиях, обладающих последним свойством,

говорят, что они являются несовместными).

Рассмотрим пока лишь дискретный случай, т. е. только те ситуации, когда все элементарные события можно занумеровать числами 1, 2,...,n,... Иначе говоря, рассматриваемое пространство элементарных событий (обозначим его Ω) состоит лишь из конечного или счетного числа элементарных событий (обозначим их ω1, ω2, ..., ωп,...), а сам факт «пространство Ω состоит из элементарных событий ω1, ω2, ..., ωп,...» кратко обозначим

Ω = {ω1, ω2, ..., ωп,...},

Ω = {ωi}, i = 1, 2,...

Рассмотрим несколько примеров случайных экспериментов и соответствующих им пространств элементарных событий.

Пр и м е р 1. Подбрасывание монеты:

Ω= {ω1 = аверс (лицевая сторона монеты); ω2 = реверс (обратная сторона монеты)}.

П р и м е р 2. Выбрасывание одной игральной кости: Ω = {ω1 = 1;

ω2 = 2; ω3 = 3; ω4 = 4; ω5 = 5; ω6 = 6}.

Пр и м е р 3. Четырехкратное бросание игральной кости.

Ω= {ω1 = (1, 1, 1, 1); ω2 = (1, 1, 1, 2);...; ω1296 = (б, 6, 6, 6)}.

П р и м е р 4. Проверка (по альтернативному признаку) одного изделия, случайно отобранного из продукции массового производства:

Ω= {ω1 = годно; ω2 = дефектно}.

Пр и м е р 5. Проверка (по альтернативному признаку) N изделий, случайно отобранных из продукции массового производства:

Ω = {ω1 = 0; ω1 = 1; …; ωN+1 = N},

где ω – число обнаруженных изделий.

П р и м е р 6. Проверка (по альтернативному признаку) двух выборок, состоящих соответственно из N1 и N2 изделий, случайно отобранных из продукции массового производства:

Ω = {ω1 = (0, 0); ω2 = (0, 1); …; ω(N1+1) (N2+1) = (N1, N2)}.

П р и м е р 7. Определение ω – числа сбоев станков автоматической линии за наугад выбранную смену:

Ω = {ω1 = 0; ω2 = 1; …; ωn = n – 1; ωn+1 = n;…}.

Кроме элементарных событий исследователю приходится иметь дело с так называемыми составными (или разложимыми) событиями.

Событие С называется составным (разложимым), если можно указать по меньшей мере два таких элементарных события ωi1 и ωi2, что из осуществления каждого из них в отдельности следует факт осуществления события С. Этот факт коротко формулируют: «событие С состоит из элементарных событий ωi1 и ωi2» и записывают символически в виде

С ={ωi1, ωi2}.

Пользуясь такой терминологией, случайным событием А называют любое помножество {ωi1, ωi2, ..., ωik ...} пространства элементарных событий (1), т. е.

А = {ωi1, ωi2,..., ωik ,...},

что следует понимать так: осуществление любого из элементарных событий ωi1, ωi2, ..., ωik , ..., «входящих в A», влечет за собой осуществление события А.

Поясним эту терминологию на некоторых из примеров 1 – 7. В примере 2 события А1 = {выпадет четное число очков} и А2 –

{выпавшее число очков не превзойдет 3} запишутся соответственно

A1 = {ω2, ω4, ω6} и A2 ={ ω1, ω2, ω3}.

Впримере 3 событие A ={хотя бы один раз при четырехкратном бросании кости появится шестерка} будет состоять из всех тех четырехмерных векторов ωi, в которых хотя бы одна из компонент равна шести (можно подсчитать, что число таких векторов равно 671).

Впримере 5 событие А = {число обнаруженных дефектных изделий не более 4}, очевидно, может быть записано A = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5}.

Впримере 7 событие А = {число зафиксированных за смену сбоев станков автоматической линии меньше 3} можно представить в виде

A = {ω1, ω2, ω3}.

Из определения теории вероятностей следует, что в первую очередь надо запастись определенной структурой всех возможных связей между случайными событиями или, другими словами, определенными правилами действий с событиями и соответствующей терминологией.

Сумма (объединение) событий А1, А2,..., Аk – это такое событие А

(А = А1 + А2 +...+ Аk), которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2,..., Аk. На языке элементарных событий, следовательно, сумма событий А1, А2,..., Аk определяется как событие A, состоящее из всех различных элементарных событий, составляющих события А1, А2,..., Аk.

Таким образом, если нас интересует, например, сумма А событий А1 = (число обнаруженных дефектных изделий не более 4} = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5} (пример 5) и А2 = {число обнаруженных дефектных изделий

заключено между 2 и 6 включительно}={ω3, ω4, ω5, ω6, ω7}, то, очевидно, А = А1 + А2 = {ω1, ω2,…, ω5, ω6, ω7}, так как о том, что событие А произошло, будет сигнализировать реализация любого из элементарных событий ω1, ω2,…, ω5, ω6, ω7.

Произведение (пересечение) событий А1, А2,..., Аk – это такое событие

А (А = А1·А2· ...· Аk) которое заключается в обязательном наступлении всех событий А1, А2,..., Аk.

На языке элементарных событий, следовательно, произведение событий А1, А2,..., Аk определяется как событие A, состоящее лишь из тех элементарных событий, которые одновременно входят во все рассматриваемые события А1, А2,..., Аk.

Так, что произведением упомянутых выше событий A1 = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5} и A2 = {ω3, ω4,…, ω7} (пример 5) будет, очевидно, событие

A =А1·А2= {ω3, ω4, ω5}, так как реализация каждого из элементарных событий ω3, ω4 и ω5 в отдельности означает, одновременное наступление событий A1 и A2.

Разность событий А1 и А2 – это такое событие A, которое заключается в одновременном осуществлении двух фактов: событие А1 произошло, а событие A2 не произошло.

На языке элементарных событий, следовательно, разность A = А1 – A2 определяется как событие, состоящее из всех тех элементарных событий, которые входят в А1, но не входят в A2. Так что разностью рассмотренных выше в схеме примера 5 событий A1={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5} и A2 ={ω3, ω4,…, ω7} будет, очевидно, событие А= А1 – A2 = {ω1, ω2}, т. е. событие, заключающееся в том, что число обнаруженных в партии дефектных изделий окажется не превосходящим единицы.

Противоположное (дополнительное) событие (к событию А) – это такое событие А, которое состоит в не наступлении события A. На языке

элементарных событий, следовательно, А определяется как событие, состоящее из всех возможных элементарных событий, не входящих в A. Поэтому, используя понятие разности событий, можно записать

А = Ω – A. Так, например, событием, противоположным к событию A1 = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5} из примера 5, очевидно, будет событие, заключающееся в том, что число обнаруженных в партии объема N

дефектных изделий окажется большим 4, т. е. А1 = {ω6, ω7,…, ωN}.

Достоверное событие определяется как событие, состоящее из всех

возможных элементарных событий, т. е. это событие Ω ={ωi}, i = 1, 2,... .

Название этого события оправдано тем обстоятельством, что пространство элементарных событий состоит из всех возможных исходов, т. е. в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно произойдет одно из элементарных событий ωi, а следовательно, тот факт, что событие Ω произойдет, достоверен.

Невозможное (пустое) событие – это событие, противоположное достоверному, т. е. = Ω – Ω = Ω.

Из определения непосредственно следует объяснение названия этого события: оно не содержит ни одного элементарного события ωi и,

следовательно, при реализации исследуемого случайного эксперимента его осуществление невозможно.

Несовместными называются события А1, А2,..., Аk, если в результате исследуемого случайного эксперимента никакие два из них не могут произойти одновременно.

На языке элементарных событий это означает, что среди событий А1, А2,..., Аk нельзя найти такую пару событий Ai и Aj в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию.

Используя понятия произведения событий и невозможного события, можно определить несовместные события как такую последовательность событий А1, А2,..., Аk, для любой пары которой Ai и Aj справедливо

соотношение Ai·Aj = . Очевидно, любые пары (A, А) противоположных событий являются несовместными. Таковыми же являются (по определению) и все элементарные события.

Полная система событий – это такой набор несовместных событий А1, А2,..., Аk, который в сумме исчерпывает все пространство элементарных событий, т. е.

A1 + A2 +... + Ak = Ω и Ai·Aj = для всех i , j = 1, 2,…, k и i ∫ j .

Очевидно, набор всех элементарных событий можно рассматривать как частный случай полной системы событий. И вообще любое разбиение множества элементарных событий Ω на непересекающиеся классы дает полную систему событий, в которой каждое из событий задается соответствующим классом разбиения.

Так, используя пример 5, положив в нем для определенности N = 100 и обозначив буквой d число дефектных изделий, обнаруженных в партии, состоящей из 100 наугад извлеченных изделий, отобранных от стационарно действующего массового производства, определим систему

событий следующим образом.

A1 = {d = 0} = {ω1} – партия отличного качества;

A2 = {1 § d § 5} = {ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} – брак в пределах допустимой нормы (партия принимается);

A3 = {6 § d § 10} = {ω7, ω8,…, ω11} – брак выше допустимой нормы (партия принимается по сниженным расценкам);

A4 = {d ¥ 11} = {ω12, ω13,…, ω101} – партия целиком возвращается.

Очевидно, события А1 , A2, A3, A4 образуют полную систему событий.

2. Вероятностное пространство.

а) Вероятности и правила действия с ними.

Для полного описания механизма исследуемого случайного эксперимента недостаточно задать лишь пространство элементарных событий. Очевидно, наряду с перечислением всех возможных исходов исследуемого случайного эксперимента мы должны также знать, как часто в длинной серии таких экспериментов могут происходить те или другие элементарные события. Действительно, возвращаясь, скажем, к примерам 1 – 7, легко представить себе, что в рамках каждого из описанных в них пространств элементарных событий можно рассмотреть бесчисленное множество случайных экспериментов, существенно различающихся по своему механизму.

Так, в примерах 1 – 3, мы будем иметь существенно различающиеся относительные частоты появления одних и тех же элементарных исходов, если будем пользоваться симметричными игральными костями или костями со слегка смещенным центром тяжести или с сильно смещенным центром тяжести и т. п.

В примерах 4 – 7 частота появления дефектных изделий, характер засоренности дефектными изделиями проконтролированных партий и частоты появления определенного числа сбоев станков автоматической линии будут зависеть от уровня технологической оснащенности изучаемого производства:

при одном и том же пространстве элементарных событий частота появления «хороших» элементарных исходов будет выше в производстве с более высоким уровнем технологии.

Для построения (в дискретном случае) полной и законченной математической теории случайного эксперимента – теории вероятностей помимо уже введенных исходных понятий случайного эксперимента,

элементарного исхода и случайного события необходимо запастись еще

одним исходным допущением (аксиомой), постулирующим существование вероятностей элементарных событий (удовлетворяющих определенной

нормировке), и определением вероятности любого случайного события.

Аксиома. Каждому элементу ωi пространства элементарных событий Ω соответствует некоторая неотрицательная числовая характеристика pi шансов его появления, называемая вероятностью события ωi причем

(отсюда, в частности, следует, что 0 § pi § 1 для всех i ) .

Определение вероятности события.

Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т. е. если использовать символику Р{ А} для обозначения «вероятности события

A», то

Отсюда и из (2) непосредственно следует, что всегда 0 § Р{A} § 1, причем вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Все остальные понятия и правила действий с вероятностями и событиями будут уже производными от введенных выше четырех исходных определений (случайного эксперимента,

элементарного исхода, случайного события и его вероятности) и

одной аксиомы.

Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов Ω и каждому элементарному исходу ωi поставить в соответствие некоторую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характеристику pi интерпретируемую как вероятность появления исхода ωi (Р{ωi}), причем установленное соответствие типа ωi ↔ pi должно удовлетворять требованию нормировки (2).

Вероятностное пространство как раз и является понятием,

формализующим такое описание механизма случайного эксперимента.

Задать вероятностное пространство – это значит задать пространство элементарных событий Ω и определить в нем вышеуказанное соответствие типа

Очевидно, соответствие типа (4) может быть задано различными способами: с помощью таблиц, графиков, аналитических формул, наконец, алгоритмически.

Как же построить вероятностное пространство, соответствующее исследуемому реальному комплексу условий?

С наполнением конкретным содержанием понятий случайного эксперимента, элементарного события, пространства элементарных событий, а в дискретном случае – и любого разложимого случайного события затруднений, как правило, не бывает. А вот определить из конкретных условий решаемой задачи вероятности Р{ωi} отдельных элементарных событий не так-то просто! С этой целью используется один из следующих трех подходов.

Априорный подход к вычислению вероятностей Р{ωi}заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента).

В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей.

Например, возможен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т. п.).

Всилу аксиомы (2) вероятность каждого элементарного события равна

вэтом случае 1/N. Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события:

если событие А содержит NA элементарных событий, то в соответствии с определением (3)

N

Смысл формулы (3') состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности).

В современной трактовке формула (3') не является определением

вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей Р{ωi} отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности.

В соответствии с этой концепцией вероятность Р{ωi} определяется как предел относительной частоты появления исхода ωi в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов n т. е.

где mn(ωi) – число случайных экспериментов (из общего числа п произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события ωi. Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей pi предлагается брать относительные частоты появления события ωi в достаточно длинном ряду случайных экспериментов.

Подобный способ вычисления вероятностей pi не противоречит современной (аксиоматической) концепции теории вероятностей, поскольку последняя построена таким образом, что эмпирическим (или выборочным) аналогом объективно существующей вероятности Р{ А} любого события А является относительная частота осуществления этого события в ряду из п независимых испытаний.

Разными в этих двух концепциях оказываются определения вероятностей:

в соответствии с частотной концепцией вероятность не является объективным, существующим до опыта, свойством изучаемого явления, а

появляется только в связи с проведением опыта или наблюдения;

это приводит к смешению теоретических (истинных, обусловленных реальным комплексом условий «существования» исследуемого явления) вероятностных характеристик и их эмпирических (выборочных) аналогов.

Отметим принципиальные сложности реализации вычислительного приема получения приближенных значений рi с помощью относительных частот mn(ωi)/n.

Во-первых, сохранение неизменными условий случайного эксперимента (т. е. сохранение условий статистического ансамбля), при котором оказывается справедливым допущение о тенденции относительных частот группироваться вокруг постоянного значения, не может поддерживаться неограниченно долго и с высокой точностью. Поэтому