Билет №1. Доказать теорему Ролля.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .

Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

1. , - любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Пусть при имеет конечный предел А₁, при имеет конечный предел А₂, и существует : для , тогда .

Доказательство:

,

,

Пусть

Это неравенство выполняется для любого , отсюда

Билет №2.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

4. Определена и непрерывна на отрезке .

5. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

1. Она непрерывна на

2. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существует из

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ,

, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:

Билет №3.

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ;

Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.

1) , где s>0, x>0; .

2) ; ; = ; .

3) (по транзитивности)

Билет №4.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).

Доказательство: I Необходимость:

Дано:

Доказать: , где - б.м.ф. при .

Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .

II Достаточность:

Дано: , где - б.м.ф. при .

Доказать:

Билет №5. Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.