Методические указания к заданию №1.

Одним из основных, фундаментальных понятий в математики являются понятия множества и его элементов.

Множество состоит из элементов.

Принадлежность элемента а множеству М обозначается аМ, непринадлежность - аМ.

Пример: М₁ – множество натуральных чисел 1,2,3, …

Обозначается N.

Часто 0 также считается натуральным числом.

Замечание: Обычно множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а элементы множеств – строчными буквами.

Определение: Множество, не содержащее элементов называется пустым.

Обозначается: .

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством.

Определение: Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.

Обозначается: АВ.

Если АВ и АВ, то множество А называется собственным подмножеством множества В.

Обозначается: АВ.

Определение: Множества А и В называются равными, если они являются подмножествами друг друга, т.е. выполняются два условия:

АВ
ВА

Множества могут быть конечными и бесконечными. Число элементов в конечном множестве М называется мощностью множества М.

Обозначается:  М

Если  А= В, то множества называются равномощными.

Способы задания множеств.

Чтобы задать множество нужно указать, какие элементы ему принадлежат.

Это можно сделать различными способами :

Перечисление элементов (список элементов). Перечислением можно задавать лишь конечные множества М{1,2,4,6,8,10};
С помощью порождающей процедуры, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных либо из других объектов М|{х х=П/2 + Пk, k N};
с помощью характеристического свойства т.е. с помощью свойств, которыми обладают элементы множества М{х |х N, х 100}.

Операции над множествами.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В. Символически можно записать | или

Пересечением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В. ={х | и

Разностью множеств А и В (А | В) называется множество в сех тех и только тех элементов множества А, которое не содержится в В.

А| В ={х | , аналогично В | А ={х | .

Симметричной разностью множества А и В (АΔВ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежали объединению этих множеств, но не принадлежат их пересечению | .

Дополнением множества А ( ) называется множество всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Пример 1:

А = {-10; -5; 0;1;2;3}

B = {-5; 0; 2;5;10}

АВ = {-10;-5;0;1;2;3;5;10}

АВ = {-5;0;2}

А|В = {-10;1;3}

ВА = {5;10}

АΔВ = {-10;1;3;5;10}

Пример 2:

А = (-; 3], В = (1; 5)

АВ = (-; 5)

АВ = (1; 3]

АВ = (-; 1]

ВА = (3; 5)

АΔВ = (-; 1]  (3; 5)

= (3; +)

= (-; 1]  [5; +)

Диаграммы Эйлера – Венна иллюстрирует операции над множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (овалами), а результат операции выделяется графически (штриховкой).

U AB

U A\B

U AB

U B\A

Пример 3 Доказать тождество:

\В = \( В)

Пусть М = \В

N = \( В)

Возьмем любой элемент хМ, значит х \В  х , хВ (по определению разности множеств)  х , х В (так как хВ )  х \( В) хN. Любой элемент множества М является элементом множества N, значит МN.
Возьмем любой элемент хN, значит х \( В)  х , х  ( В)  х , хВ  х \В хN. Любой элемент множества N является элементом множества M, значит NM.

МN, NM M =N. Следовательно, \В = \( В). Проверим правильность данного множества с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

Множества А и В могут быть расположены по отношении друг к другу следующим обраом: